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第5题

在凸四边形 ABCDABCD 中，对角线 BDBD 既不平分角 ∠ABC\angle ABC，也不平分角 ∠CDA\angle CDA。点 PP 位于 ABCDABCD 内部，且满足 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. 证明：ABCDABCD 是圆内接四边形当且仅当 AP=CPAP=CP。
第 4/5 步：拟调和当且仅当 PP 在 ACAC 上
上一步下一步
X:=AC∩BD,Y,Y′:=isogonals of BD in ∠B,∠D on AC  ⟹  AX⋅AYCX⋅CY=BA2BC2, AX⋅AY′CX⋅CY′=DA2DC2  ⟹  (AB⋅CD=BC⋅DA  ⟺  P∈AC)X:=AC\cap BD,\quad Y,Y':=\text{isogonals of }BD\text{ in }\angle B,\angle D\text{ on }AC \implies \frac{AX\cdot AY}{CX\cdot CY}=\frac{BA^2}{BC^2},\ \frac{AX\cdot AY'}{CX\cdot CY'}=\frac{DA^2}{DC^2} \implies (AB\cdot CD=BC\cdot DA \iff P\in AC)
详细分析

设 X=AC∩BDX=AC\cap BD，并设从 B 出发的等角射线与 AC 交于 Y。由正弦定理，AXCX=ABsin⁡∠ABXBCsin⁡∠XBC\frac{AX}{CX}=\frac{AB\sin\angle ABX}{BC\sin\angle XBC}；由于等角交换两个正弦，AYCY=ABsin⁡∠XBCBCsin⁡∠ABX\frac{AY}{CY}=\frac{AB\sin\angle XBC}{BC\sin\angle ABX}。相乘得到 AX⋅AYCX⋅CY=BA2BC2\frac{AX\cdot AY}{CX\cdot CY}=\frac{BA^2}{BC^2}。设从 D 出发的对应等角射线与 AC 交于 Y'，同样计算得到 AX⋅AY′CX⋅CY′=DA2DC2\frac{AX\cdot AY'}{CX\cdot CY'}=\frac{DA^2}{DC^2}。有向比 AT/CTAT/CT 唯一确定 AC 上的点 T，所以 Y 与 Y' 重合当且仅当两右端相等，即 AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。由于 P 是两条等角射线的交点，这等价于 P∈ACP\in AC。