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第5题

在凸四边形 ABCDABCD 中，对角线 BDBD 既不平分角 ∠ABC\angle ABC，也不平分角 ∠CDA\angle CDA。点 PP 位于 ABCDABCD 内部，且满足 ∠PBC=∠DBAand∠PDC=∠BDA.\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA. 证明：ABCDABCD 是圆内接四边形当且仅当 AP=CPAP=CP。
第 5/5 步：完成两种情形（P∉ACP \notin AC 与 P∈ACP \in AC）
上一步下一步
Case P∉AC: PA=PC  ⟺  ∡PAC=∡ACP  ⟺  ABCD cyclic;Case P∈AC: symmedian midpoint property  ⟹  (PA=PC  ⟺  ABCD cyclic)\text{Case }P\notin AC:\ PA=PC\iff\measuredangle PAC=\measuredangle ACP\iff ABCD\text{ cyclic};\quad \text{Case }P\in AC:\text{ symmedian midpoint property}\implies (PA=PC\iff ABCD\text{ cyclic})
详细分析

第一种情形设 P∉ACP\notin AC。此时三角形 △PAC\triangle PAC 非退化，等长条件 PA=PCPA=PC 等价于等底角条件 ∡PAC=∡ACP\measuredangle PAC=\measuredangle ACP。第二、三步将其化为共圆或拟调和二分支；第四步排除拟调和分支，所以得到共圆 ABCDABCD。第二种情形设 P∈ACP\in AC。第四步给出 AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。若共圆，这就是 DA/DC=BA/BCDA/DC=BA/BC，即 BDBD 在 △ABC\triangle ABC 中为陪位中线的判据；其等角线是中线，所以 P 为中点并得到等长。反过来等长使 P 为中点，等角关系使 BD 为陪位中线。若 D′≠BD'\ne B 是该陪位中线与外接圆的另一个交点，则 D′A/D′C=BA/BCD'A/D'C=BA/BC，而拟调和关系也给 D 相同比值。阿波罗尼斯圆与过 B 的直线只有 B 和 D' 两个交点，故 D=D′D=D'，从而 ABCDABCD 共圆。