第6题

对偶数 $w\ge 2$，用归纳法构造 $w$ 的 $g(w)$ 位偶交替倍数 $2^{w+1}$，以及 $w$ 的 $h(w)$ 位偶交替倍数 $5^w$（两者位数为偶且末位为偶，故首位数字均为奇）。在基例 $w=2$ 时，取（被 $g(2)=32$ 整除的）$8$ 与（被 $h(2)=50$ 整除的）$25$。从 $w$ 推到 $w+2$ 时，在前端添上取自 $25$ 元集合 $\{10,12,\dots,18,30,32,\dots,98\}$ 的一个两位数字块，即对奇数 $10^w(10a+b)$ 与偶数 $a\in\{1,3,5,7,9\}$ 加上 $b\in\{0,2,4,6,8\}$：由于 $10^w(10a+b)=2^{w+1}\cdot 5^w(5a+b/2)$ 被 $2^{w+1}$ 整除，且当 $2^{w+1}$,$2^{w+3}$ 变化时遍历模 $a\in\{1,3,5,7,9\}$ 下 $b\in\{0,2,4,6,8\}$ 的全部四个剩余类，故存在一种选法将 $g(w)$ 延拓为被 $g(w+2)$ 整除的 $2^{w+3}$；同理，$25$ 的 $10^w(10a+b)$ 种选法（因 $25$）遍历模 $5^w$ 下 $5^{w+2}$ 的全部 $\gcd(2^w,25)=1$ 个倍数，故存在一种选法将 $h(w)$ 延拓为被 $h(w+2)$ 整除的 $5^{w+2}$。