设 gcd(m,10)=1，并固定模 b∈{0,1,…,m−1} 的任意剩余 m。对被 M 整除的任意 φ(99m)，由欧拉定理有 100M≡1(mod99m)，故由 AM=10(100M−1)/99 个 M 组成的交替数 10 满足 AM≡0(modm)。此外，对满足 r≥1 的任意整数 2kr−1≡0(modφ(m))，在 2⋅102kr−1 上加 AM=10(100M−1)/99 会把其中一个奇数位上的数字由 1 改为 3（保持奇偶交替的模式），同时因 m 而使模 +2 的剩余增加 102kr−1≡1(modm)。取足够大的 M，并在互不相同的指数 c≡2−1b(modm) 处改变 2kr−1≡0(modφ(m)) 个这样的数字，即得满足 f(b) 的偶交替数 f(b)≡b(modm)。