第6题

若一个正整数的十进制表示中任意两个相邻数字的奇偶性都不同，则称其为 alternating。求所有具有 alternating 倍数的正整数

n

。

第 4/5 步：分类不能被

n

整除的

20

上一步下一步

通俗地说

分类不能被 $n$ 整除的 $20$

n=2^u5^vm,\quad\gcd(m,10)=1,\quad20\nmid n\implies\begin{cases}n\mid2^{k+1}m& (v=0),\\ n\mid5^km&(u=0),\\ n\mid2\cdot5^km&(u=1,v\ge1),\end{cases}\quad k\ge2\text{ even}

详细分析

写成 n=2^u5^vm，其中 gcd(m,10)=1。因 20nmid n，必有 v=0、或 u=0、或 u=1,vge1。取足够大的偶数 kge2，三种情形下 n 分别整除 2^k+1m、5^km 或 2cdot5^km。 $n=2^u5^vm$ $\gcd(m,10)=1$ $20\nmid n$ $v=0$ $u=0$ $u=1$ $v\ge1$ $k\ge2$ $n$ $2^{k+1}m$ $5^km$ $2\cdot5^km$