MathLabs

第6题

若一个正整数的十进制表示中任意两个相邻数字的奇偶性都不同，则称其为 alternating。求所有具有 alternating 倍数的正整数 nn。
第 5/5 步：拼接头部与尾部完成全部三类
上一步下一步
通俗地说

拼接头部与尾部完成全部三类

10kf ⁣(−10−kg(k) mod m)+g(k),10kf ⁣(−10−kh(k) mod m)+h(k)10^k f\!\left(-10^{-k}g(k)\bmod m\right)+g(k),\quad 10^k f\!\left(-10^{-k}h(k)\bmod m\right)+h(k)
详细分析

使用第三步得到的偶数位交替头部 f(b)f(b)。第一类将其与 g(k)g(k) 拼接，另外两类与 h(k)h(k) 拼接。所选剩余使拼接数被 mm 整除，而尾部提供所需的 22 或 55 因子。由于头部末位为偶数，尾部位数为偶数且首位为奇数，连接处仍保持奇偶交替。又因 nn 整除其中一个构造数，故每个 20midn20 mid n 都有交替倍数。