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国际数学奥林匹克 · 2005年

试题

  1. 第1题在等边三角形 ABCABC 的边上取六个点：BCBC 上取 A1,A2A_1, A_2，CACA 上取 B1,B2B_1, B_2，ABAB 上取 C1,C2C_1, C_2，使它们是一个各边相等的凸六边形 A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2 的顶点。证明直线 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2 与 C1A2C_1A_2 共点。解法: 1
  2. 第2题设 a1,a2,…a_1, a_2, \dots 是一个整数序列，其中有无穷多个正项和无穷多个负项。假设对每个正整数 nn，a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n 除以 nn 所得的 nn 个余数两两不同。证明每个整数在该数列中恰好出现一次。解法: 1
  3. 第3题设 x,y,z>0x, y, z > 0 满足 xyz≥1xyz\ge 1。证明 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.解法: 1
  4. 第4题求所有与无穷数列 an=2n+3n+6n−1, n≥1.a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. 的每一项都互质的正整数。解法: 1
  5. 第5题设 ABCDABCD 是满足 BC=DABC = DA 且 BC∦DABC \nparallel DA 的固定凸四边形。设动点 EE、FF 分别在边 BCBC、DADA 上，满足 BE=DFBE = DF。直线 ACAC 与 BDBD 交于 PP，直线 BDBD 与 EFEF 交于 QQ，直线 EFEF 与 ACAC 交于 RR。证明当 EE、FF 变化时，三角形 PQRPQR 的外接圆都经过除 PP 外的一个公共点。解法: 1
  6. 第6题在一次向参赛者提出 66 道题的数学竞赛中，任意两道题都有超过 25\frac25 的参赛者同时做出。此外，没有参赛者做出全部 66 道题。证明至少有 22 名参赛者恰好各自做出了 55 道题。解法: 1