第2题

设

a_1, a_2, \dots

是一个整数序列，其中有无穷多个正项和无穷多个负项。假设对每个正整数

n

，

a_1, a_2, \dots, a_n

除以

n

所得的

n

个余数两两不同。证明每个整数在该数列中恰好出现一次。

第 1/5 步：任何一项都不重复

通俗地说

若两项相等，它们显然余数相同，这与前若干项余数两两不同的假设矛盾。

i<j,\ a_i=a_j\ \Longrightarrow\ \text{contradiction at }n=j

详细分析

假设某个 $i<j$ 使 $a_i=a_j$ ，取 $n=j$ 。在 $a_1,\dots,a_n$ 中，假设要求模 $n$ 的余数有 $n$ 个互不相同，但由 $a_i=a_j$ 显然有 $a_i\equiv a_j\pmod n$ ，矛盾。因此每个整数在数列中至多出现一次。