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国际数学奥林匹克
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2005年
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第1题
第1题
在等边三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的边上取六个点：
B
C
BC
B
C
上取
A
1
,
A
2
A_1, A_2
A
1
,
A
2
，
C
A
CA
C
A
上取
B
1
,
B
2
B_1, B_2
B
1
,
B
2
，
A
B
AB
A
B
上取
C
1
,
C
2
C_1, C_2
C
1
,
C
2
，使它们是一个各边相等的凸六边形
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
A_1A_2B_1B_2C_1C_2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
的顶点。证明直线
A
1
B
2
A_1B_2
A
1
B
2
、
B
1
C
2
B_1C_2
B
1
C
2
与
C
1
A
2
C_1A_2
C
1
A
2
共点。
第 1/6 步：六边形首尾相接
上一步
下一步
通俗地说
沿闭合六边形走一整圈回到起点，意味着六个边向量必须互相抵消。
A
1
A
2
→
+
A
2
B
1
→
+
B
1
B
2
→
+
B
2
C
1
→
+
C
1
C
2
→
+
C
2
A
1
→
=
0
⃗
\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2B_1}+\overrightarrow{B_1B_2}+\overrightarrow{B_2C_1}+\overrightarrow{C_1C_2}+\overrightarrow{C_2A_1}=\vec0
A
1
A
2
+
A
2
B
1
+
B
1
B
2
+
B
2
C
1
+
C
1
C
2
+
C
2
A
1
=
0
详细分析
按此循环顺序取的六个点构成一个闭合六边形，因此其六条有向边之和为零向量。
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