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第1题

在等边三角形 ABCABC 的边上取六个点：BCBC 上取 A1,A2A_1, A_2，CACA 上取 B1,B2B_1, B_2，ABAB 上取 C1,C2C_1, C_2，使它们是一个各边相等的凸六边形 A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2 的顶点。证明直线 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2 与 C1A2C_1A_2 共点。
第 6/6 步：三条垂直平分线交于一点
上一步下一步
通俗地说

若两点各自到另两点等距，则过这两点的直线必是连接那另两点的线段的垂直平分线。

C1A2⊥-bisects B2C2,A1B2⊥-bisects C2A2,B1C2⊥-bisects A2B2C_1A_2\perp\text{-bisects }B_2C_2,\quad A_1B_2\perp\text{-bisects }C_2A_2,\quad B_1C_2\perp\text{-bisects }A_2B_2
详细分析

由于六边形在 C1C_1 处的两边相等，C1B2=C1C2C_1B_2=C_1C_2，即 C1C_1 也到 B2B_2、C2C_2 等距；结合上一步的 A2B2=A2C2A_2B_2=A_2C_2，A2A_2 与 C1C_1 都在 B2C2B_2C_2 的垂直平分线上，因此直线 C1A2C_1A_2 正是这条垂直平分线。将顶点循环代入同样的论证，可知 A1B2A_1B_2 与 B1C2B_1C_2 分别是 C2A2C_2A_2 与 A2B2A_2B_2 的垂直平分线。这恰好是三角形 A2B2C2A_2B_2C_2 三边的垂直平分线，所以 A1B2A_1B_2、B1C2B_1C_2、C1A2C_1A_2 共点于其外心。