若较前的两项相距过远，这个差本身就足够小，可作为使二者余数相撞的 nnn。
设某个 i<ji<ji<j 使 ∣ai−aj∣≥j|a_i-a_j|\ge j∣ai−aj∣≥j，令 n=∣ai−aj∣≠0n=|a_i-a_j|\ne0n=∣ai−aj∣=0（由上一步知非零）。则 i<j≤ni<j\le ni<j≤n，两下标都在 [1,n][1,n][1,n] 内，且由 nnn 的取法有 ai≡aj(modn)a_i\equiv a_j\pmod nai≡aj(modn) —— 这与 a1,…,ana_1,\dots,a_na1,…,an 模 nnn 有 nnn 个不同余数的假设矛盾。故对一切 i<ji<ji<j 都有 ∣ai−aj∣<j|a_i-a_j|<j∣ai−aj∣<j。