第2题

对 $n$ 归纳（基础情形 $n=1$ 显然成立）。若 $\{a_1,\dots,a_n\}=\{k+1,\dots,k+n\}$，则该区间与 $k$ 一起构成 $n+1$ 个连续整数 $k,k+1,\dots,k+n$，恰好实现模 $n+1$ 的每个余数各一次；区间 $\{a_1,\dots,a_n\}$ 恰好缺少 $k$ 的余数。由于 $a_1,\dots,a_{n+1}$ 也必须实现模 $n+1$ 的全部 $n+1$ 个余数，故需 $a_{n+1}\equiv k\pmod{n+1}$。由上一步，$|a_{n+1}-a_1|<n+1$ 且 $a_1\in\{k+1,\dots,k+n\}$，因此与 $a_1$ 相距这么近、又模 $n+1$ 同余于 $k$ 的整数只有 $k$ 和 $k+n+1$。无论取哪一个，区间都恰好扩展一个连续整数。