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第2题

设 a1,a2,…a_1, a_2, \dots 是一个整数序列，其中有无穷多个正项和无穷多个负项。假设对每个正整数 nn，a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n 除以 nn 所得的 nn 个余数两两不同。证明每个整数在该数列中恰好出现一次。
第 4/5 步：无穷多正负项迫使区间无限扩展
上一步下一步
通俗地说

每次只增加一个整数的区间，若不持续向两个方向无限扩展，就不可能同时包含无穷多正项和无穷多负项。

n→∞ ⟹ {a1,…,an} grows without bound in both directionsn\to\infty\ \Longrightarrow\ \{a_1,\dots,a_n\}\ \text{grows without bound in both directions}
详细分析

由上一步，在每个阶段 {a1,…,an}\{a_1,\dots,a_n\} 都是 nn 个连续整数组成的区间，且当 nn 增加 11 时恰好向左或向右扩展一个整数。由于整个数列含有无穷多正项与无穷多负项，当 n→∞n\to\infty 时该区间必须向两个方向无限扩展。