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第2题

设 a1,a2,…a_1, a_2, \dots 是一个整数序列,其中有无穷多个正项和无穷多个负项。假设对每个正整数 nn,a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n 除以 nn 所得的 nn 个余数两两不同。证明每个整数在该数列中恰好出现一次。
第 5/5 步:每个整数恰好出现一次
∀m∈Z, ∃! n: an=m\forall m\in\mathbb Z,\ \exists!\,n:\ a_n=m
详细分析

由于不断扩展的区间 {a1,…,an}\{a_1,\dots,a_n\} 最终包含每个整数,故每个整数 mm 都等于某个 ana_n;又由第一步知它至多等于一项。因此每个整数在数列中恰好出现一次。