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第3题

设 x,y,z>0x, y, z > 0 满足 xyz≥1xyz\ge 1。证明 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
第 1/5 步：把每一项与一个更简单的分式比较
上一步下一步
通俗地说

原来的项与换用更简便分母后的项之差，恰好是一个完全平方乘以一个非负量，因此符号永远不会出错。

x5−x2x5+y2+z2−x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2(x3−1)2(y2+z2)(x5+y2+z2) x3(x2+y2+z2)≥0\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{(x^5+y^2+z^2)\,x^3(x^2+y^2+z^2)}\ge0
详细分析

直接展开可知两个分式之差等于 x2(x3−1)2(y2+z2)(x5+y2+z2) x3(x2+y2+z2)\dfrac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{(x^5+y^2+z^2)\,x^3(x^2+y^2+z^2)}，其分子分母在 x,y,z>0x,y,z>0 时都非负。因此对任意 x,y,z>0x,y,z>0 都有 x5−x2x5+y2+z2≥x5−x2x3(x2+y2+z2)\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}，此时还不需要用到 xyz≥1xyz\ge1。