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第3题

设 x,y,z>0x, y, z > 0 满足 xyz≥1xyz\ge 1。证明 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
第 2/5 步：改写更简单的下界
上一步下一步
x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2−1xx2+y2+z2\frac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2-\frac1x}{x^2+y^2+z^2}
详细分析

把上一步右边的分子分母同除以 x3x^3，得到 x5−x2x3(x2+y2+z2)=x2−1xx2+y2+z2\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\dfrac{x^2-\frac1x}{x^2+y^2+z^2}，因为 x5/x3=x2x^5/x^3=x^2 且 x2/x3=1/xx^2/x^3=1/x。