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第3题

设 x,y,z>0x, y, z > 0 满足 xyz≥1xyz\ge 1。证明 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
第 3/5 步：把三个下界相加
上一步下一步
通俗地说

三个下界的分母都是 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2，因此按循环相加后能整齐地合并成一个分式。

∑cycx5−x2x5+y2+z2 ≥ (x2+y2+z2)−(1x+1y+1z)x2+y2+z2\sum_{cyc}\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ \ge\ \frac{(x^2+y^2+z^2)-\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)}{x^2+y^2+z^2}
详细分析

对第1–2步的下界按循环置换 x→y→z→xx\to y\to z\to x 求和，并注意到三个下界的分母都是 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2，即可得到题目左边的这个合并下界。