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国际数学奥林匹克
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2005年
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第3题
第3题
设
x
,
y
,
z
>
0
x, y, z > 0
x
,
y
,
z
>
0
满足
x
y
z
≥
1
xyz\ge 1
x
y
z
≥
1
。证明
x
5
−
x
2
x
5
+
y
2
+
z
2
+
y
5
−
y
2
x
2
+
y
5
+
z
2
+
z
5
−
z
2
x
2
+
y
2
+
z
5
≥
0.
\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
x
5
+
y
2
+
z
2
x
5
−
x
2
+
x
2
+
y
5
+
z
2
y
5
−
y
2
+
x
2
+
y
2
+
z
5
z
5
−
z
2
≥
0.
第 4/5 步：只需再证明一个更简单的不等式
上一步
下一步
x
2
+
y
2
+
z
2
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
x^2+y^2+z^2\ \ge\ \frac1x+\frac1y+\frac1z
x
2
+
y
2
+
z
2
≥
x
1
+
y
1
+
z
1
详细分析
由上一步，只需证明这个不等式；一旦成立，第3步右边即
≥
0
\ge0
≥
0
，问题得证。
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