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第3题

设 x,y,z>0x, y, z > 0 满足 xyz≥1xyz\ge 1。证明 x5−x2x5+y2+z2+y5−y2x2+y5+z2+z5−z2x2+y2+z5≥0.\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \ge 0.
第 5/5 步：用 xyz≥1xyz\ge1 串联两个经典结论
上一步下一步
通俗地说

第一个不等式是常见事实 ∑x2≥∑xy\sum x^2\ge\sum xy；第二个把 xy+yz+zxxy+yz+zx 变成 xyzxyz 乘以 ∑1x\sum\frac1x，而 xyz≥1xyz\ge1 正是使该量不小于 ∑1x\sum\frac1x 所需要的条件。

x2+y2+z2 ≥ xy+yz+zx=xyz(1x+1y+1z) ≥ 1x+1y+1zx^2+y^2+z^2\ \ge\ xy+yz+zx = xyz\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ \ge\ \frac1x+\frac1y+\frac1z
详细分析

不等式 x2+y2+z2≥xy+yz+zxx^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx 对一切实数成立（等价于 12[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]≥0\frac12\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right]\ge0）。又恒有 xy+yz+zx=xyz(1z+1x+1y)xy+yz+zx=xyz\left(\frac1z+\frac1x+\frac1y\right)，且由 xyz≥1xyz\ge1 及 1x+1y+1z>0\frac1x+\frac1y+\frac1z>0 得 xyz(1x+1y+1z)≥1x+1y+1zxyz\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge \frac1x+\frac1y+\frac1z。串联这两步即得上一步的不等式，由第3步即完成证明；等号在 x=y=z=1x=y=z=1 时取得。