12,13,16\frac12,\frac13,\frac1621,31,61 之和恰好等于 111 这个小小的数字巧合，正是 ap−2a_{p-2}ap−2 对每个大素数取模都归零的原因。
在有理数范围内 12+13+16=3+2+16=1\frac12+\frac13+\frac16=\frac{3+2+1}{6}=121+31+61=63+2+1=1，又因 2⋅3⋅6=362\cdot3\cdot6=362⋅3⋅6=36 与 p>3p>3p>3 互质，模p的逆元之间也满足同样的关系。故由上一步 ap−2≡(2−1+3−1+6−1)−1≡1−1≡0(modp)a_{p-2}\equiv\left(2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}\right)-1\equiv1-1\equiv0\pmod pap−2≡(2−1+3−1+6−1)−1≡1−1≡0(modp)，即 p∣ap−2p\mid a_{p-2}p∣ap−2。