第4题

求所有与无穷数列

a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1.

的每一项都互质的正整数。

第 5/5 步：没有素数整除

k

，故

k=1

上一步下一步

k\ \text{has no prime factor}\ \Longrightarrow\ k=1

详细分析

由第1步， $2\nmid k$ 且 $3\nmid k$ ；由第4步，对每个素数 $p>3$ 都有 $p\mid a_{p-2}$ ，故 $p\nmid k$ （否则 $k$ 与 $a_{p-2}$ 将有公共因子 $p$ ）。因此 $k$ 没有任何素因子，只能 $k=1$ 。反过来 $k=1$ 与每个正整数都互质，确实满足条件。唯一答案是 $k=1$ 。