MathLabs

第5题

设 ABCDABCD 是满足 BC=DABC = DA 且 BC∦DABC \nparallel DA 的固定凸四边形。设动点 EE、FF 分别在边 BCBC、DADA 上，满足 BE=DFBE = DF。直线 ACAC 与 BDBD 交于 PP，直线 BDBD 与 EFEF 交于 QQ，直线 EFEF 与 ACAC 交于 RR。证明当 EE、FF 变化时，三角形 PQRPQR 的外接圆都经过除 PP 外的一个公共点。
第 1/7 步：固定候选点 MM
上一步下一步
通俗地说

关于 ABCDABCD 与 PP 的一切在选取 E,FE,F 之前就已固定，因此仅由它们构造出的点自然与 E,FE,F 无关。

M=(△APD)∩(△BPC)∖{P}M=(\triangle APD)\cap(\triangle BPC)\setminus\{P\}
详细分析

设 MM 为三角形 APDAPD 与 BPCBPC 外接圆的第二个交点（不同于 PP）——即由直线 AD,BC,AC,BDAD,BC,AC,BD 构成的完全四边形的 Miquel 点。由于 A,B,C,D,PA,B,C,D,P 都不依赖 E,FE,F 的选取，MM 也不依赖，它是唯一确定的固定点。