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第5题

设 ABCDABCD 是满足 BC=DABC = DA 且 BC∦DABC \nparallel DA 的固定凸四边形。设动点 EE、FF 分别在边 BCBC、DADA 上，满足 BE=DFBE = DF。直线 ACAC 与 BDBD 交于 PP，直线 BDBD 与 EFEF 交于 QQ，直线 EFEF 与 ACAC 交于 RR。证明当 EE、FF 变化时，三角形 PQRPQR 的外接圆都经过除 PP 外的一个公共点。
第 3/7 步：同一个旋转也把 EE 送到 FF
上一步下一步
通俗地说

把一条线段送到另一条线段的旋转，会把每个点送到相同比例距离处的点；比例相等 BE/BC=DF/DABE/BC=DF/DA 使 EE 与 FF 成为对应点对。

BEBC=DFDA ⟹ the same rotation sends E↦F\frac{BE}{BC}=\frac{DF}{DA}\ \Longrightarrow\ \text{the same rotation sends}\ E\mapsto F
详细分析

上一步的旋转把 BCBC 上距 BB 为比例 BE/BCBE/BC 的点，送到 DADA 上距 DD 同一比例的点。由 BE=DFBE=DF 且 BC=DABC=DA，该比例即 BE/BC=DF/DABE/BC=DF/DA，其像点恰为 FF。于是绕 MM 的这同一个固定旋转，同时把 B↦DB\mapsto D、C↦AC\mapsto A、E↦FE\mapsto F。