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第5题

设 ABCDABCD 是满足 BC=DABC = DA 且 BC∦DABC \nparallel DA 的固定凸四边形。设动点 EE、FF 分别在边 BCBC、DADA 上，满足 BE=DFBE = DF。直线 ACAC 与 BDBD 交于 PP，直线 BDBD 与 EFEF 交于 QQ，直线 EFEF 与 ACAC 交于 RR。证明当 EE、FF 变化时，三角形 PQRPQR 的外接圆都经过除 PP 外的一个公共点。
第 6/7 步：两个圆将 MM 锁定为全部四条直线的 Miquel 点
上一步下一步
通俗地说

一般位置的四条直线总有一个公共 Miquel 点，同时落在它们所构成的四个三角形的外接圆上；只需落在其中两个圆上，就足以确定这个点是哪一个。

M∈(△RAF)∩(△QDF) ⟹ M is the Miquel point of lines DA,EF,BD,ACM\in(\triangle RAF)\cap(\triangle QDF)\ \Longrightarrow\ M\ \text{is the Miquel point of lines}\ DA,EF,BD,AC
详细分析

四条直线 DA,EF,BD,ACDA,EF,BD,AC 确定四个三角形——DFQDFQ、AFRAFR、APDAPD（第1步）与 PQRPQR——一条经典定理指出它们的四个外接圆总有一个公共点，即完全四边形的 Miquel 点。圆 (RAF)(RAF) 与 (QDF)(QDF) 都过 FF，且由第4–5步都过 MM；由于两个不同的圆至多交于两点，而 Miquel 点同时在两圆上，故 MM 必是该 Miquel 点（它不是作为定义顶点之一的那个 FF，并非 Miquel 点）。