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第5题

设 ABCDABCD 是满足 BC=DABC = DA 且 BC∦DABC \nparallel DA 的固定凸四边形。设动点 EE、FF 分别在边 BCBC、DADA 上，满足 BE=DFBE = DF。直线 ACAC 与 BDBD 交于 PP，直线 BDBD 与 EFEF 交于 QQ，直线 EFEF 与 ACAC 交于 RR。证明当 EE、FF 变化时，三角形 PQRPQR 的外接圆都经过除 PP 外的一个公共点。
第 7/7 步：MM 是每个圆 (PQR)(PQR) 的公共点
上一步下一步
M∈(△PQR)M\in(\triangle PQR)
详细分析

由于 MM 是四条直线 DA,EF,BD,ACDA,EF,BD,AC 的 Miquel 点，它落在它们所确定的每个三角形的外接圆上，特别是落在由直线 EF,BD,ACEF,BD,AC 切出的 (△PQR)(\triangle PQR) 上。由于 MM 只由固定点 A,B,C,D,PA,B,C,D,P（第1步）确定，对任意合法的 E,FE,F 都是同一个点，且一般情形下不同于 PP。这正是所要求的公共点。