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第6题

在一次向参赛者提出 66 道题的数学竞赛中，任意两道题都有超过 25\frac25 的参赛者同时做出。此外，没有参赛者做出全部 66 道题。证明至少有 22 名参赛者恰好各自做出了 55 道题。
第 2/6 步：写出全部 1515 个题对的解答人数
上一步下一步
ti=∑1≤r<s≤5r,s≠ibrs≥2n+15,tij=1+∑m≠i,jam+∑{r,s}∩{i,j}=∅brs≥2n+15t_i=\sum_{\substack{1\le r<s\le 5\\ r,s\ne i}}b_{rs}\ge\frac{2n+1}{5},\quad t_{ij}=1+\sum_{m\ne i,j}a_m+\sum_{\{r,s\}\cap\{i,j\}=\emptyset}b_{rs}\ge\frac{2n+1}{5}
详细分析

对 1≤i≤51\le i\le5，设 tit_i 为同时做出第 ii 题与第 66 题的人数；只有满足 i∉{r,s}i\notin\{r,s\} 的 brsb_{rs} 有贡献，得 ti=∑r,s≠ibrst_i=\sum_{r,s\ne i}b_{rs}（共 66 项）。对 1≤i<j≤51\le i<j\le5，设 tijt_{ij} 为同时做出第 ii 题与第 jj 题的人数；唯一做出 55 题的人贡献 11，满足 m∉{i,j}m\notin\{i,j\} 的 ama_m 贡献 33 项，与 {i,j}\{i,j\} 不相交的 brsb_{rs} 贡献 33 项。这 1515 个数 ti,tijt_i,t_{ij} 都是严格大于 25n\frac25 n 的整数，故都至少为 2n+15\frac{2n+1}{5}。