第6题

将全部 $15$ 个题对计数相加，相当于按每名参赛者统计其做出的题对数：那名 $5$ 题解答者贡献 $\binom52=10$ 对，其余 $n-1$ 名 $4$ 题解答者每人贡献 $\binom42=6$ 对，故 $\sum t_i+\sum t_{ij}=10+6(n-1)=6n+4$。另一方面，这 $15$ 个计数都是 $\ge\frac{2n+1}{5}$ 的整数，而 $15\cdot\frac{2n+1}{5}=6n+3$ 仅比 $6n+4$ 少 $1$。若 $\frac{2n+1}{5}$ 不是整数，则每个计数都 $\ge\frac{2n+2}{5}$，总和将 $\ge 6n+6$，不可能；因此 $k=\frac{2n+1}{5}$ 是整数，$15$ 个计数中有十四个等于 $k$，剩下的一个等于 $k+1$。