第6题

在一次向参赛者提出

6

道题的数学竞赛中，任意两道题都有超过

\frac25

的参赛者同时做出。此外，没有参赛者做出全部

6

道题。证明至少有

2

名参赛者恰好各自做出了

5

道题。

第 4/6 步：

t

之间的一条精确线性恒等式

上一步下一步

通俗地说

在 $1+t_1+t_2+t_3+t_{12}+t_{23}+t_{13}-t_{45}$ 中，只涉及 $\{1,2,3\}$ 的变量全部抵消，而涉及 $4$ 或 $5$ 的每个变量出现的次数都是 $3$ 的倍数。

(1+t_1+t_2+t_3+t_{12}+t_{23}+t_{13})-t_{45}=3(1+a_4+a_5+b_{14}+b_{15}+b_{24}+b_{25}+b_{34}+b_{35}+2b_{45})

详细分析

将第2步的公式代入 $(1+t_1+t_2+t_3+t_{12}+t_{23}+t_{13})-t_{45}$ 并逐一核对系数：常数项为 $(1+3)-1=3$ ；当 $m\in\{1,2,3\}$ 时， $a_m$ 出现在 $t_{12},t_{23},t_{13}$ 之一及 $t_{45}$ 中（ $1-1=0$ ），而当 $m\in\{4,5\}$ 时出现在 $t_{12},t_{23},t_{13}$ 全部三项中且不在 $t_{45}$ 中（ $3-0=3$ ）；当 $r,s\in\{1,2,3\}$ 时， $b_{rs}$ 出现在 $t_1,t_2,t_3$ 之一及 $t_{45}$ 中（ $1-1=0$ ）；当 $r\in\{1,2,3\},s\in\{4,5\}$ 时， $b_{rs}$ 出现在 $t_1,t_2,t_3$ 中两项及 $t_{12},t_{23},t_{13}$ 中一项（ $2+1-0=3$ ）；而 $b_{45}$ 出现在 $t_1,t_2,t_3,t_{12},t_{23},t_{13}$ 全部六项中（ $6-0=6$ ）。所有非零系数都能被 $3$ 整除。