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第6题

在一次向参赛者提出 66 道题的数学竞赛中，任意两道题都有超过 25\frac25 的参赛者同时做出。此外，没有参赛者做出全部 66 道题。证明至少有 22 名参赛者恰好各自做出了 55 道题。
第 5/6 步：对 {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} 的任意分拆取模 33
上一步下一步
tde≡1+ta+tb+tc+tab+tbc+tca(mod3)({a,b,c,d,e}={1,2,3,4,5})t_{de}\equiv 1+t_a+t_b+t_c+t_{ab}+t_{bc}+t_{ca}\pmod 3\quad(\{a,b,c,d,e\}=\{1,2,3,4,5\})
详细分析

将第4步的恒等式对 33 取模，得 t45≡1+t1+t2+t3+t12+t23+t13(mod3)t_{45}\equiv 1+t_1+t_2+t_3+t_{12}+t_{23}+t_{13}\pmod3。由于设置对第 1,2,3,4,51,2,3,4,5 这五道题完全对称，将 {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} 分成三元集 {a,b,c}\{a,b,c\} 与二元集 {d,e}\{d,e\} 的任意分拆都满足同样的同余式。