MathLabs

第1题

设 ABCABC 是一个三角形，内心为 II。三角形内部一点 PP 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB。证明 AP≥AIAP \geq AI，且等号成立当且仅当 P=IP=I。
第 1/4 步：由角的条件求出 ∠BPC\angle BPC
上一步下一步
通俗地说

两组角之和 (∠PBA+∠PCA)(\angle PBA+\angle PCA) 与 (∠PBC+∠PCB)(\angle PBC+\angle PCB) 合起来等于 ∠B+∠C\angle B+\angle C；既然二者相等，就都等于 ∠B+∠C\angle B+\angle C 的一半，这恰与角平分线为 II 截出的角相同。

∠PBC+∠PCB=∠B+∠C2 ⟹ ∠BPC=180∘−∠B+∠C2=90∘+∠A2=∠BIC\angle PBC+\angle PCB=\frac{\angle B+\angle C}{2}\ \Longrightarrow\ \angle BPC=180^\circ-\frac{\angle B+\angle C}{2}=90^\circ+\frac{\angle A}{2}=\angle BIC
详细分析

因 PP 在 △ABC\triangle ABC 内部，有 ∠B=∠PBA+∠PBC\angle B=\angle PBA+\angle PBC 及 ∠C=∠PCA+∠PCB\angle C=\angle PCA+\angle PCB。两式相加并代入 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB 得 2(∠PBC+∠PCB)=∠B+∠C2(\angle PBC+\angle PCB)=\angle B+\angle C，故 ∠PBC+∠PCB=12(∠B+∠C)\angle PBC+\angle PCB=\frac12(\angle B+\angle C)。在 △BPC\triangle BPC 中由此得 ∠BPC=180∘−12(∠B+∠C)=90∘+12∠A\angle BPC=180^\circ-\frac12(\angle B+\angle C)=90^\circ+\frac12\angle A，恰为 ∠BIC\angle BIC 的熟知值。