国际数学奥林匹克 · 2006年

试题

第1题设 $ABC$ 是一个三角形，内心为 $I$ 。三角形内部一点 $P$ 满足 $\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB$ 。证明 $AP \geq AI$ ，且等号成立当且仅当 $P=I$ 。解法: 1
第2题设 $P$ 是一个正 $2006$ 边形。如果 $P$ 的一条对角线的两个端点将 $P$ 的边界分成两部分，每部分都由奇数条 $P$ 的边组成，则称该对角线是好的。 $P$ 的各条边也称为好的。假设用 $2003$ 条在 $P$ 内部互不相交的对角线将 $P$ 剖分成三角形。求在这样的剖分中，具有两条好边的等腰三角形最多可能有多少个。解法: 1
第3题求最小的实数 $M$ ，使得对任意实数 $a$ , $b$ , $c$ ，不等式 $\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ 恒成立。解法: 1
第4题求所有满足 $1+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2}$ 的整数对 $(x,y)$ 。解法: 1
第5题设 $P(x)$ 是次数 $n>1$ 的整系数多项式， $k$ 为正整数。定义 $Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))$ ，其中 $P$ 出现 $k$ 次。证明满足 $Q(t)=t$ 的整数 $t$ 至多有 $n$ 个。解法: 1
第6题对凸多边形 $P$ 的每条边 $b$ ，赋予以 $b$ 为一边且包含于 $P$ 中的三角形的最大面积。证明赋予 $P$ 各边的面积之和不小于 $P$ 的面积的两倍。解法: 1