第1题

设

ABC

是一个三角形，内心为

I

。三角形内部一点

P

满足

\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB

。证明

AP \geq AI

，且等号成立当且仅当

P=I

。

第 2/4 步：

P

在

\triangle BIC

的外接圆上

\angle BPC=\angle BIC\ \Longrightarrow\ B,P,I,C\ \text{are concyclic}

详细分析

$P$ 与 $I$ 都在直线 $BC$ 的同一侧（ $\triangle ABC$ 内部），且由第1步它们对线段 $BC$ 所张的角相等 $\angle BPC=\angle BIC$ 。因此 $P$ 位于 $\triangle BIC$ 的外接圆上。