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第1题

设 ABCABC 是一个三角形，内心为 II。三角形内部一点 PP 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB。证明 AP≥AIAP \geq AI，且等号成立当且仅当 P=IP=I。
第 3/4 步：利用射线 AIAI 上的内心-旁心引理圆心 MM
上一步下一步
通俗地说

由内心-旁心引理，△BIC\triangle BIC 的外接圆以弧 BCBC 的中点 MM（即射线 AIAI 与 △ABC\triangle ABC 外接圆的交点）为圆心，因此 PP 与 II 到 MM 的距离相等。

MB=MC=MI=MP,AM=AI+IMMB=MC=MI=MP,\quad AM=AI+IM
详细分析

设射线 AIAI 与 △ABC\triangle ABC 的外接圆再交于点 MM（即不含 AA 的弧 BCBC 的中点）。因 II 在连接 AA 与 MM 的线段上，故 AM=AI+IMAM=AI+IM。由内心-旁心引理，MM 是 △BIC\triangle BIC 的外心，所以 MB=MC=MIMB=MC=MI；又因 PP 也在该圆上（第2步），故同样有 MP=MIMP=MI。