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第1题

设 ABCABC 是一个三角形，内心为 II。三角形内部一点 PP 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB。证明 AP≥AIAP \geq AI，且等号成立当且仅当 P=IP=I。
第 4/4 步：对 A,P,MA,P,M 应用三角不等式
上一步下一步
AP+PM≥AM=AI+IM ⟹ AP≥AI(equality iff P=I)AP+PM\ge AM=AI+IM\ \Longrightarrow\ AP\ge AI\quad(\text{equality iff }P=I)
详细分析

对 A,P,MA,P,M 用三角不等式得 AP+PM≥AM=AI+IMAP+PM\ge AM=AI+IM。减去第3步的 PM=IMPM=IM 即得 AP≥AIAP\ge AI。AP+PM≥AMAP+PM\ge AM 取等号当且仅当 PP 在线段 AMAM 上；而线段 AMAM 与以 MM 为圆心、MIMI 为半径的圆仅交于唯一一点 II，故等号成立当且仅当 P=IP=I。