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第2题

设 PP 是一个正 20062006 边形。如果 PP 的一条对角线的两个端点将 PP 的边界分成两部分，每部分都由奇数条 PP 的边组成，则称该对角线是好的。PP 的各条边也称为好的。假设用 20032003 条在 PP 内部互不相交的对角线将 PP 剖分成三角形。求在这样的剖分中，具有两条好边的等腰三角形最多可能有多少个。
第 1/5 步：奇偶性与几何事实
上一步下一步
通俗地说

三角形截出的三段边界弧长度总和为 20062006，所以奇数长度的弧有偶数段。因此特殊三角形恰有两条好边，且这两条就是相等的两腰。

each triangle has 0 or 2 good sides; special triangles have two congruent good sides\text{each triangle has }0\text{ or }2\text{ good sides; special triangles have two congruent good sides}
详细分析

对正 20062006 边形顶点组成的三角形，设连续顶点之间的三段边界弧长度为 u,v,wu,v,w。则 u+v+w=2006u+v+w=2006，且一条边为好边当且仅当对应弧长为奇数；所以好边数为 00 或 22。若等腰三角形有两条好边，这两条必须是相等的两腰；否则第三边与一条腰具有相同奇偶性，会与好边数为偶数矛盾。利用等弦长和不相交性的标准论证，还可知两个特殊三角形不能共享好边。