第3题

求最小的实数

M

，使得对任意实数

a

b

c

，不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

恒成立。

第 1/8 步：把轮换和分解为一次因子的乘积

通俗地说

把繁琐的轮换和看成只含一个变量的多项式，就把寻找代数恒等式变成了简单的验根。

ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)

详细分析

把 $b$ 和 $c$ 视为常数，将左边看成关于 $a$ 的三次多项式，其 $a^3$ 的系数为 $b-c$ 。由于 $a=b$ 、 $a=c$ 、 $a=-b-c$ 都使其为零，故左边等于 $(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$ 。