第3题

求最小的实数

M

，使得对任意实数

a

b

c

，不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

恒成立。

第 2/8 步：给变量排序（该界是对称的）

通俗地说

交换 $a$ , $b$ , $c$ 中任意两个只会改变 $(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$ 的符号，而绝对值和 $(a^2+b^2+c^2)^2$ 都不在意这个符号，因此可以选取一个方便的顺序。

a\le b\le c

详细分析

整个不等式在 $a$ , $b$ , $c$ 的任意排列下都不变：右边 $(a^2+b^2+c^2)^2$ 显然对称，左边在分解式 $(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)$ 的排列下只会改变符号，而绝对值消去了这个符号。因此可以设 $a\le b\le c$ 。