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第3题

求最小的实数 MM，使得对任意实数 aa, bb, cc，不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} 恒成立。
第 3/8 步：对两个相邻差用 AM–GM
上一步下一步
通俗地说

由 a≤b≤ca\le b\le c 知 b−ab-a 与 c−bc-b 均非负，故它们的积不超过其平均值的平方——这是基本的 AM–GM。

∣(a−b)(b−c)∣≤((b−a)+(c−b)2)2=(c−a)24|(a-b)(b-c)|\le\left(\frac{(b-a)+(c-b)}{2}\right)^2=\frac{(c-a)^2}{4}
详细分析

对非负数 b−ab-a 与 c−bc-b 用 AM–GM，得 (b−a)(c−b)≤((b−a)+(c−b)2)2=(c−a)24(b-a)(c-b)\le\left(\frac{(b-a)+(c-b)}{2}\right)^2=\frac{(c-a)^2}{4}，又因 (a−b)(b−c)=(b−a)(c−b)≥0(a-b)(b-c)=(b-a)(c-b)\ge0，此式即为 ∣(a−b)(b−c)∣|(a-b)(b-c)|。等号当且仅当 b−a=c−bb-a=c-b，即 2b=a+c2b=a+c 时成立。