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第3题

求最小的实数 MM，使得对任意实数 aa, bb, cc，不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} 恒成立。
第 5/8 步：把两个估计合并成一个
上一步下一步
∣(b−c)(a−b)(a−c)(a+b+c)∣≤14∣c−a∣3∣a+b+c∣≤14(2u3)3/2s,u=(b−a)2+(c−b)2+(c−a)2, s=∣a+b+c∣|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\le\frac14|c-a|^3|a+b+c|\le\frac14\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s,\quad u=(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2,\ s=|a+b+c|
详细分析

把第3步的估计乘以 ∣a−c∣∣a+b+c∣|a-c||a+b+c|，得 ∣(b−c)(a−b)(a−c)(a+b+c)∣≤14∣c−a∣3∣a+b+c∣|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\le\frac14|c-a|^3|a+b+c|。记 u=(b−a)2+(c−b)2+(c−a)2u=(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2，s=∣a+b+c∣s=|a+b+c|，由第4步得 ∣c−a∣2≤2u3|c-a|^2\le\frac{2u}{3}，从而 ∣c−a∣3≤(2u3)3/2|c-a|^3\le\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}，于是估计变为 ∣(b−c)(a−b)(a−c)(a+b+c)∣≤14(2u3)3/2s|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\le\frac14\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s。