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第3题

求最小的实数 MM，使得对任意实数 aa, bb, cc，不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} 恒成立。
第 6/8 步：一个恒等式把 uu、ss 与 a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 联系起来
上一步下一步
通俗地说

直接展开 u+s2u+s^2，交叉项 abab、bcbc、caca 在平方差与平方和之间全部抵消，只剩下 a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 的纯倍数——正因如此，固定的 a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 “预算”才能在 uu 与 ss 之间重新分配。

u+s2=(b−a)2+(c−b)2+(c−a)2+(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)u+s^2=(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)
详细分析

直接展开可得 (b−a)2+(c−b)2+(c−a)2+(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)（交叉项相消），即 u+s2=3(a2+b2+c2)u+s^2=3(a^2+b^2+c^2)，其中 R:=a2+b2+c2R:=a^2+b^2+c^2 正是原不等式右边出现的量。