第3题

求最小的实数

M

，使得对任意实数

a

b

c

，不等式

\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}

恒成立。

第 7/8 步：带权 AM–GM 把固定预算变成最优估计

上一步下一步

通俗地说

由于在固定和 $u+s^2=3R$ 中 $u/3$ 出现三次而 $s^2$ 出现一次，按 $3$ 比 $1$ 取带权 AM–GM，恰好对应 $\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s$ 中出现的幂次 $\left(\frac u3\right)^{3}s^2$ 。

\frac{\frac u3+\frac u3+\frac u3+s^2}{4}\ge\sqrt[4]{\left(\frac u3\right)^3s^2}\ \Longrightarrow\ \left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s\le\frac{9\sqrt2}{8}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2

详细分析

对四个非负数 $\frac u3$ 、 $\frac u3$ 、 $\frac u3$ 、 $s^2$ 用 AM–GM（由第6步知其和为 $u+s^2=3R$ ）： $\frac{3\cdot\frac u3+s^2}{4}\ge\sqrt[4]{\left(\frac u3\right)^3s^2}$ 给出 $\left(\frac u3\right)^3s^2\le\left(\frac{3R}{4}\right)^4$ 。两边乘以 $8$ 再开平方，把 $\left(\frac{2u}{3}\right)^3s^2=8\left(\frac u3\right)^3s^2$ 化为 $\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s\le\sqrt{8}\left(\frac{3R}{4}\right)^2=\frac{9\sqrt2}{8}R^2$ 。