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第3题

求最小的实数 MM，使得对任意实数 aa, bb, cc，不等式 ∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤M(a2+b2+c2)2\left| ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})\right|\leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} 恒成立。
第 8/8 步：得出最优常数并给出取等情形
上一步下一步
∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣≤9232(a2+b2+c2)2,M=9232|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|\le\frac{9\sqrt2}{32}(a^2+b^2+c^2)^2,\qquad M=\frac{9\sqrt2}{32}
详细分析

结合第5步与第7步，∣ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)∣=∣(b−c)(a−b)(a−c)(a+b+c)∣≤14(2u3)3/2s≤9232(a2+b2+c2)2|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|=|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\le\frac14\left(\frac{2u}{3}\right)^{3/2}s\le\frac{9\sqrt2}{32}(a^2+b^2+c^2)^2，故 M=9232M=\frac{9\sqrt2}{32} 满足要求。等号需要 2b=a+c2b=a+c（第3–4步）及 u3=s2\frac u3=s^2（第7步）；可验证 (a,b,c)=(2−32, 2, 2+32)(a,b,c)=(2-3\sqrt2,\,2,\,2+3\sqrt2) 同时满足两者且使两边相等，故 9232\frac{9\sqrt2}{32} 已最优：M=9232M=\frac{9\sqrt2}{32}。