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第4题

求所有满足 1+2x+22x+1=y21+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2} 的整数对 (x,y)(x,y)。
第 3/7 步:在 xx 为正时因式分解
(y−1)(y+1)=2x(1+2x+1)(y-1)(y+1)=2^x(1+2^{x+1})
详细分析

现在设 x>0x>0。原方程右边为奇数,所以 yy 为奇数。移项得 (y−1)(y+1)=2x(1+2x+1)(y-1)(y+1)=2^x(1+2^{x+1})。左边两个因子均为偶数,且恰有一个能被 44 整除。