MathLabs

第5题

设 P(x)P(x) 是次数 n>1n>1 的整系数多项式,kk 为正整数。定义 Q(x)=P(P(…P(x)…))Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots)),其中 PP 出现 kk 次。证明满足 Q(t)=tQ(t)=t 的整数 tt 至多有 nn 个。
第 1/8 步:记下整数可除性引理
u−v∣P(u)−P(v)(u,v∈Z, u≠v)u-v\mid P(u)-P(v)\qquad(u,v\in\mathbb Z,\ u\ne v)
详细分析

对不同的整数 u,vu,v,每个 uj−vju^j-v^j 都被 u−vu-v 整除。由于 PP 为整系数多项式,把这些可除性相加便得 u−v∣P(u)−P(v)u-v\mid P(u)-P(v)。