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第5题

设 P(x)P(x) 是次数 n>1n>1 的整系数多项式,kk 为正整数。定义 Q(x)=P(P(…P(x)…))Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots)),其中 PP 出现 kk 次。证明满足 Q(t)=tQ(t)=t 的整数 tt 至多有 nn 个。
第 4/8 步:闭合整数轨道在两个值之间交替
P2(a)=aP^2(a)=a
详细分析

取轨道中的最小值。由于所有相邻差的非零大小相同且轨道回到起点,经过最小值时差的符号必须反转。因此轨道在两个整数 a,ba,b 之间交替,满足 P(a)=bP(a)=b、P(b)=aP(b)=a;特别地,QQ 的每个不动点都满足 P2(a)=aP^2(a)=a。