第5题

设

P(x)

是次数

n>1

的整系数多项式，

k

为正整数。定义

Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))

，其中

P

出现

k

次。证明满足

Q(t)=t

的整数

t

至多有

n

个。

第 7/8 步：把所有点放入同一个

n

次多项式

上一步下一步

F(x)=C-x-P(x),\qquad C=a+b,\qquad F(\alpha)=0

详细分析

令 $C=a+b$ 。对 $P^2$ 的每个不动点 $\alpha$ ，取 $\beta=P(\alpha)$ ；由第6步 $\alpha+\beta=C$ 。于是 $F(\alpha)=C-\alpha-P(\alpha)=0$ 。点 $a,b$ 也满足此方程，且 $F$ 的次数为 $n$ ，与 $P$ 相同。