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国际数学奥林匹克
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2006年
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第5题
第5题
设
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
是次数
n
>
1
n>1
n
>
1
的整系数多项式，
k
k
k
为正整数。定义
Q
(
x
)
=
P
(
P
(
…
P
(
x
)
…
)
)
Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))
Q
(
x
)
=
P
(
P
(
…
P
(
x
)
…
))
，其中
P
P
P
出现
k
k
k
次。证明满足
Q
(
t
)
=
t
Q(t)=t
Q
(
t
)
=
t
的整数
t
t
t
至多有
n
n
n
个。
第 8/8 步：数根并完成证明
上一步
下一步
#
{
t
∈
Z
:
Q
(
t
)
=
t
}
≤
#
{
x
:
F
(
x
)
=
0
}
≤
n
\#\{t\in\mathbb Z:Q(t)=t\}\le\#\{x:F(x)=0\}\le n
#
{
t
∈
Z
:
Q
(
t
)
=
t
}
≤
#
{
x
:
F
(
x
)
=
0
}
≤
n
详细分析
由第4步，
Q
Q
Q
的每个整数不动点都是
P
2
P^2
P
2
的不动点；第7步又说明它们全是非零
n
n
n
次多项式
F
F
F
的根。因此
Q
(
t
)
=
t
Q(t)=t
Q
(
t
)
=
t
至多有
n
n
n
个整数解，证毕。
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