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第6题

对凸多边形 PP 的每条边 bb，赋予以 bb 为一边且包含于 PP 中的三角形的最大面积。证明赋予 PP 各边的面积之和不小于 PP 的面积的两倍。
第 1/5 步：用 mm 个蝴蝶形覆盖拟凸 2m2m 边形
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通俗地说

当有向主对角线 PiPi+mP_iP_{i+m} 从 i=0i=0 走到 i=mi=m 时，方向由 P0PmP_0P_m 反转为 PmP0P_mP_0，因此多边形内的每个点都至少被相邻两条主对角线之间的领结形区域扫过一次。

Bi=△PiPi+1Oi∪△Pi+mPi+m+1Oi,Oi=PiPi+m∩Pi+1Pi+m+1(i=0,…,m−1)B_i=\triangle P_iP_{i+1}O_i\cup\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}O_i,\quad O_i=P_iP_{i+m}\cap P_{i+1}P_{i+m+1}\quad(i=0,\dots,m-1)
详细分析

若一个多边形的所有内角都 ≤180∘\le 180^\circ（即在凸多边形各边上添上若干顶点所得），则称之为拟凸多边形。设面积为 SS 的拟凸 2m2m 边形 QQ 的顶点依次为 P0,P1,…,P2m−1P_0,P_1,\dots,P_{2m-1}（下标模 2m2m）。对 i=0,…,m−1i=0,\dots,m-1，两条主对角线 PiPi+mP_iP_{i+m} 与 Pi+1Pi+m+1P_{i+1}P_{i+m+1} 交于一点 Oi∈QO_i\in Q，并围成自交的蝴蝶形 Bi=△PiPi+1Oi∪△Pi+mPi+m+1OiB_i=\triangle P_iP_{i+1}O_i\cup\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}O_i。当 ii 从 00 变到 mm 时，有向直线 PiPi+mP_iP_{i+m} 由 P0PmP_0P_m 反向为 PmP0P_mP_0，故每个内点 X∈QX\in Q 必在某一步 ii 越过该直线从而落在 BiB_i 中。因此 Q=⋃i=0m−1BiQ=\bigcup_{i=0}^{m-1}B_i。