第6题

对凸多边形

P

的每条边

b

，赋予以

b

为一边且包含于

P

中的三角形的最大面积。证明赋予

P

各边的面积之和不小于

P

的面积的两倍。

第 3/5 步：每个蝴蝶形的面积都不超过以其两条边之一为底的三角形面积

上一步下一步

通俗地说

在交于 $O_i$ 、四条臂长为 $a,b,c,d$ 的领结形中，把最短臂 $d$ 换成相邻的臂 $b\ge d$ ，就把一侧翼换成了更大的三角形，并与另一侧翼拼成多边形的一个完整三角形。

d=\min(a,b,c,d)\ \Longrightarrow\ [\triangle P_iP_{i+1}P_{i+m}]=[\triangle P_iO_iP_{i+1}]+[\triangle P_{i+1}O_iP_{i+m}]\ge[\triangle P_iO_iP_{i+1}]+[\triangle P_{i+m}O_iP_{i+m+1}]=[B_i]

详细分析

在蝴蝶形 $B_i$ 中，设 $a=P_iO_i$ ， $b=P_{i+1}O_i$ ， $c=P_{i+m}O_i$ ， $d=P_{i+m+1}O_i$ ，并设 $\theta=\angle P_iO_iP_{i+1}=\angle P_{i+m}O_iP_{i+m+1}$ 。不妨设 $d=\min(a,b,c,d)$ （其余三种情形对称，分别给出 $\triangle P_iP_{i+1}P_{i+m+1}$ 、 $\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}P_i$ 、 $\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}P_{i+1}$ ）。因 $b\ge d$ ，有 $[\triangle P_{i+1}O_iP_{i+m}]=\frac12 bc\sin\theta\ge\frac12 dc\sin\theta=[\triangle P_{i+m}O_iP_{i+m+1}]$ 。两边加上 $[\triangle P_iO_iP_{i+1}]$ 得 $[\triangle P_iP_{i+1}P_{i+m}]\ge[B_i]\ge S/m$ 。这就证明了关键引理：面积为 $S$ 的任意拟凸 $2m$ 边形必有一条边能构成面积至少为 $S/m$ 的内接三角形。