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第1题

给定实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n。对每个 ii（1≤i≤n1 \le i \le n），定义 di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\}，并令 d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\}。(a) 证明：对任意实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，有 max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2}。(b) 证明存在实数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n，使上述不等式取等号。
第 1/5 步：将最大跨度表示为一个差
上一步下一步
通俗地说

截至 qq 的前缀最大值和从 qq 开始的后缀最小值都是数列中的实际项，因此它们的差恰为 ap−ara_p - a_r。

d=dq=ap−ar,1≤p≤q≤r≤nd = d_q = a_p - a_r, \qquad 1 \le p \le q \le r \le n
详细分析

取 qq 使 d=dqd = d_q，并取 p≤q≤rp \le q \le r 使 ap=max⁡{aj:1≤j≤q}a_p = \max\{a_j : 1 \le j \le q\} 且 ar=min⁡{aj:q≤j≤n}a_r = \min\{a_j : q \le j \le n\}，于是 d=ap−ard = a_p - a_r。由于 ap≥aq≥ara_p \ge a_q \ge a_r，还可得 d≥0d \ge 0。